Formule de Scherrer

La formule de Scherrer, ou relation de Laue -Scherrer, est une formule utilisée en diffraction X sur des poudres ou échantillons polycristallins.


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Radiocristallographie - Chimie analytique

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  • Les pics de diffraction n'ont pas d'orientation préférentielle.... taille moyenne des cristallites estimées par la formule de Scherrer est d'environ... de 0 `a 220kA/m à peu près dans un entrefer de 1cm de largeur, deux pointes de test ... (source : jp4.journaldephysique)
  • (En général, la largeur des pics de diffraction des rayons X des cristallites de faible dimension est inversement proportionnelle à ... (source : umc.edu)
  • ... est déduite par la formule de Scherrer, est de 23 nm pour les NPs..... La largeur à mi hauteur des pics de diffraction reste identique, ... (source : tel.archives-ouvertes)

La formule de Scherrer , ou relation de Laue-Scherrer, est une formule utilisée en diffraction X sur des poudres ou échantillons polycristallins. Elle relie la largeur des pics de diffraction — ou des anneaux de Debye-Scherrer — à la taille des cristallites.

Si t est la taille du cristallite (son diamètre si on l'estime sphérique), ε est la largeur intégrale d'un pic, λ est la longueur d'onde de l'onde incidente et θ est la moitié de la déviation de l'onde (la moitié de la position du pic sur le diagramme), alors la formule de Scherrer s'écrit :

t = \frac{\lambda}{\varepsilon \cdot \cos \theta}

En pratique, on utilise fréquemment la largeur à mi-hauteur H du pic ; il faut par conséquent corriger la largeur par un facteur k. D'autre part, même avec un cristallite «illimité», on aurait une largeur s due aux défauts de l'optique instrumentale. On utilise par conséquent la formule

t = \frac{k \cdot \lambda}{\sqrt{Hˆ2 - sˆ2} \cdot \cos \theta}

k prend généralement la valeur 0, 89. On utilise souvent la formule approchée

t = \frac{k \cdot \lambda}{(H - s) \cdot \cos \theta}

L'élargissement commence à être visible pour des cristallites faisant moins de 1 µm.

Principe

En condition de diffraction, les rayons X diffusés par chaque nœud du réseau sont en phase et produisent une interférence constructive. Si on s'écarte un peu des conditions de diffraction, l'onde diffusée par un nœud sera en opposition de phase avec l'onde diffusée par un autre nœud ; les nœuds dont les ondes s'annulent seront d'autant plus éloignés que le déphasage entre chaque nœud est faible, par conséquent qu'on est proche des conditions de diffraction.

Le cristallite étant de taille finie, si on est particulièrement proche des conditions de diffraction, alors la distance entre les nœuds dont les ondes s'annulent est supérieure à la taille du cristallite. On a par conséquent de l'intensité à l'endroit où il ne devrait y avoir que la ligne de fond.

Ce phénomène explique la largeur du pic induite par l'échantillon.

Voir aussi l'article Réseau de diffraction optique > Largeur des raies et taille du réseau

Limites de la méthode

Les cristallites n'ont pas tous la même taille. On a en fait une distribution de tailles.

Dans le cas d'une distribution unimodale, il faut au moins deux paramètres pour décrire cette distribution : la moyenne et la largeur. Or, la formule de Scherrer ne donne qu'une seule valeur. Correspond elle à l'espérance mathématique ? À la médiane ? Au maximum de la distribution (mode)  ?

La formule de Scherrer sert de fait plus pour du qualitatif — comparer des échantillons entre eux, avoir un critère de sélection — que pour du quantitatif strict.

La notion de taille de cristallite est différente de celle granulométrie : un grain de poudre peut être composé de plusieurs cristallites.

Voir aussi

Bibliographie

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