Indices de Miller et indices de direction

Les indices de Miller sont une manière de désigner les plans dans un cristal. On utilise des indices identiques pour désigner les directions dans un cristal, les indices de direction.

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Cristallographie

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Les indices de Miller représentent non seulement un plan mais la totalité des plans parallèles au plan spécifié. Un plan est repéré par dans les directions... (source : nte.enstimac)
Les Dispositifs d'Indices des Directions et des Plans Cristallographiques... Coordonnées des nœuds d'un réseau défini par les vecteurs primitifs... ou distance interéticulaire notée dhkl diminue quand les indices de Miller augmentent.... (source : nte.mines-albi)
Ce sont les coordonnées de ce vecteur qui forment les indices de Miller.... Voici quelques exemples d'indices de Miller et de leur plan associé pour des dispositifs... de direction cristallographique pour désigner les indices [uvw].... (source : thepoussin.free)

Les indices de Miller sont une manière de désigner les plans dans un cristal. On utilise des indices identiques pour désigner les directions dans un cristal, les indices de direction.

Un cristal est un empilement ordonné d'atomes, d'ions ou de molécules, nommés ci-après «motifs». La périodicité du motif est exprimée par un réseau constitué de nœuds qui représentent les sommets de la maille. Les plans et directions sont qualifiés de «nodaux» (plan nodal, direction nodale) ou mieux toujours «réticulaire». Une direction réticulaire est dite rangée.

En métallurgie, on travaille souvent avec des cristaux constitués d'un seul type d'atomes ; on parle par conséquent de «plan atomique», de «direction atomique» ou de «rangée d'atomes», mais ce ne sont que des cas spécifiques.

Les arêtes de la maille conventionnelle définissent les vecteurs de la base.

Importance des plans et directions denses

Plan cristallographique et densité atomique
bas : cristal de profil
haut : vues selon un axe perpendiculaire à chaque surface

Le cristal n'est pas isotrope^[1], il n'y a pas de raison que ses propriétés le soient. Les lignes et plans de grande densité vont présenter des propriétés spécifiques :

optiques : la propagation d'une onde lumineuse dans le cristal (réfraction) se fait par diffusion Rayleigh de proche en proche, entre les atomes ; la vitesse de propagation peut par conséquent différer selon la densité de la direction, provoquant le phénomène de biréfringence ;
liées à la tension superficielle : si le matériau se condense sous la forme d'un cristal, c'est qu'un motif est plus stable quand il est entouré d'autres motifs ;
- propagation d'une fissure et plan de clivage : les motifs d'une surface libre sont exposés à l'air ; la surface libre est plus stable si elle correspond à un plan de grande densité, car alors chaque motif est entouré d'un maximum de motifs ;
- forme d'un pore, pour la même raison que ci-dessus ;
adsorption et réactivité : le nombre de sites d'adsorption, et par conséquent la réactivité chimique, dépend de la densité d'atomes ;
dislocations
- le cœur d'une dislocation va plus s'étendre dans un plan dense, cela diminué le frottement lors du déplacement de la dislocation (force de Peierls-Nabarro au cours de la déformation plastique) ; les glissements se font par conséquent préférentiellement selon des plans denses ;
- la perturbation que représente une dislocation (vecteur de Burgers) est une direction dense : en effet, un décalage d'un motif dans une direction dense représente une distorsion faible (les motifs étant rapprochés) ;
- la ligne d'une dislocation va aussi tendre à être une direction dense, pour diminuer la tension de ligne (une boucle de dislocation aura par conséquent tendance à être un polygone).

Repérage d'une direction

Exemples de directions.

Une direction peut se représenter par un vecteur. On choisit pour cela un vecteur ayant des coordonnées entières : une direction contient au moins deux motifs pour qu'on puisse définir sa densité, et les motifs sont décalés d'une combinaison linéaire entière des vecteurs de la base. Cette direction est notée $[uvw]$ où $u$ , $v$ et $w$ sont les coordonnées entières. Les nombres négatifs sont notés avec un trait au-dessus ( $u$ se lit «moins $u$ ») :

[111] (ou le vecteur opposé [111]) sert à désigner la grande diagonale de la maille ;
[111] (ou l'opposé [111]) et [111] (ou l'opposé [111]) désignent les deux autres diagonales ;
[100], [010] et [001] désignent les vecteurs de la base.

Si on note $\vec{a}$ , $\vec{b}$ et $\vec{c}$ les vecteurs de la base, alors les indices de direction [uvw] correspondent au vecteur

$u\vec{a} + v\vec{b} + w\vec{c}$

$u$ , $v$ et $w$ sont des coordonnées de type contravariantes.

Note: Dans le cas général, la base $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ est quelconque. C'est une base orthogonale dans le cas d'un réseau à symétrie orthorhombique ou tétragonale, et orthonormale dans le cas d'un réseau à symétrie cubique (voir l'article Réseau de Bravais).

Repérage d'un plan

Définition des indices de Miller d'un plan.

Considérons le plan le plus proche de l'origine mais qui ne passe pas par l'origine. Si on prend l'intersection de ce plan avec les trois axes, on obtient les trois coordonnées de trois points :

$(P, 0, 0)$ l'intersection du plan avec l'axe des x ;
$(0, Q, 0)$ l'intersection du plan avec l'axe des y ;
$(0, 0, R)$ l'intersection du plan avec l'axe des z ;

alors l'inverse des coordonnées des intersections donne les indices de Miller, avec la convention 1/∞ = 0 (l'indice est 0 si l'axe est parallèle au plan). Ces indices sont notés entre parenthèse $(hkl)$ :

$h = 1/ P$ ;
$k = 1/ Q$ ;
$l = 1/ R$ .

Exemples de plans pour une structure cubique.

Si ni $h$ , ni $k$ , ni $l$ ne sont nuls, alors le plan passe par conséquent par les points $A 1 (1/ h, 0, 0)$ , $A 2 (0, 1/ k, 0)$ , $A 3 (0, 0, 1/ l)$ , par conséquent les vecteurs suivants sont dans le plan :

$\overrightarrow{A_1 A_2} \left ( -\frac{1}{h}, \frac{1}{k}, 0 \right )$ ;
$\overrightarrow{A_1 A_3} \left ( -\frac{1}{h}, 0, \frac{1}{l} \right )$ ;
$\overrightarrow{A_2 A_3} \left ( 0, -\frac{1}{k}, \frac{1}{l} \right )$ .

Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, deux de ces vecteurs forment une base du plan.

Si un des indices est nul, alors un des vecteurs de la base de la maille est aussi un vecteur du plan, celui dont la composante non nulle est l'indice nul du plan :

si $h = 0$ , le vecteur [1 0 0] (vecteur de coordonnées (1, 0, 0) ) est dans le plan ;
si $k = 0$ , le vecteur [0 1 0] est dans le plan ;
si $l = 0$ , le vecteur [0 0 1] est dans le plan.

Si la base est orthonormale, le produit scalaire du vecteur $[hkl]$ avec ces vecteurs est nul :

$\left ( -\frac{1}{h}, \frac{1}{k}, 0 \right ) \cdot (h,k,l) = -1 + 1 + 0 = 0$

$\left ( -\frac{1}{h}, 0, \frac{1}{l} \right ) \cdot (h,k,l) = -1 + 0 + 1 = 0$

$\left ( 0, -\frac{1}{k}, \frac{1}{l} \right ) \cdot (h,k,l) = 0 -1 + 1 = 0$

Donc dans le cas d'un réseau cubique, le vecteur $[hkl]$ est perpendiculaire à la surface, c'en est un vecteur normal. Dans le cas général, il faut changer de base pour que le vecteur de coordonnées $(h, k, l)$ soit perpendiculaire au plan (cf. infra).

Symétries cristallines et permutation des indices

Certaines structures cristallines possèdent des symétrie spécifiques donnant la possibilité de la permutation des indices.

Cristal à symétrie cubique

Pour un cristal suivant un réseau de Bravais cubique, les trois diagonales sont équivalentes, les trois faces du cube sont équivalentes, … ; on peut par conséquent permuter à volonté les indices et prendre les opposés d'un ou de plusieurs indices, cela représentera immuablement une direction ayant les mêmes propriétés.

La totalité des directions obtenues par permutation est nommées «famille de direction», et est notée entre crochet :

< uvw >

sert à désigner à la fois

[uvw]

[uwv]

[vuw]

[vwu]

[wuv]

[wvu]

mais aussi les combinaisons obtenues en changeant un ou deux signes.

Par exemple

<100> sert à désigner les directions [100], [100], [010], [010], [001] et [001] ;
<110> sert à désigner les directions [110], [110], [110], [101], [101], [101], [011], [011] et [011] (mais aussi leurs opposé).

Il en est de même pour les plans, on peut permuter les indices de Miller. Une famille de plans est alors notée entre accolades :

{hkl}

sert à désigner les plans

(hkl)

(hlk)

(khl)

(klh)

(lhk)

(lkh)

mais aussi les combinaisons obtenues en changeant un ou deux signes.

Cristal à symétrie hexagonale

Indices de Miller-Bravais.

Dans le cas des structures à symétrie hexagonale, ou trigonale, on définit quelquefois un quatrième indice pour désigner les plans, $(hkil)$ ; c'est la notation de Bravais-Miller. L'indice $i$ , positionné en troisième position, est redondant (les trois indices $h$ , $k$ et $l$ suffisent à eux seuls à définir un plan) ; il est défini par

i = - h - k

Cette notation permet d'appliquer des permutations circulaires d'indice pour définir des familles de plans.

En réalité, si on considère le plan de base (001), ce plan a une symétrie d'ordre 3, c'est-à-dire qu'il est invariant par une rotation d'1/3 de tour (2π/3 rad, 120 °). Il contient par conséquent trois directions semblables [100], [010] et [110]. Si on prend l'intersection du plan avec ces trois axes, l'inverse des abscisses des intersections donnent les indices $h$ , $k$ et $i$ .

Calculs géométriques dans l'espace réciproque

Distance interréticulaire

Article détaillé : Distance interréticulaire.

La distance interréticulaire d_hkl entre deux plan de la famille ${h k l}$ est donnée par :

$d_{hkl} = \frac{1}{\|\vec{H}\|} = \frac{1}{\sqrt{\vec{H}ˆ{T} Gˆ* \vec{H}}}$

où :

$\vec{H}=h\vec{a_r}+k\vec{b_r}+l\vec{c_r}$ est le vecteur normal à un plan de la famille {hkl)
$\vec{aˆ*}$ , $\vec{bˆ*}$ et $\vec{cˆ*}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque
$\vec{H}ˆT$ est la transposée du vecteur $\vec{H}$
$Gˆ*∼$ est le tenseur métrique du réseau réciproque

Angle entre plans réticulaires

L'angle $θ$ entre deux plans réticulaires $(h k l) 1$ et $(h k l) 2$ est l'angle entre leurs normales $\vec{H_1}$ et $\vec{H_2}$ , et est donné par :

$\cos{\theta} = \frac{(\vec{H_1} | \vec{H_2})}{\|\vec{H_1}\| \|\vec{H_2}\|}$

avec :

$(\vec{H_1} | \vec{H_2}) = \vec{H_1}ˆT Gˆ* \vec{H_2}$
$\| \vec{H_i} \|= \sqrt{\vec{H_i}ˆT Gˆ* \vec{H_i}}$

où :

$\vec{H_i} = h_i \vec{aˆ*} + k_i \vec{bˆ*} + l_i \vec{cˆ*}$ est un vecteur normal au plan $(h k l) i$
$\vec{aˆ*}$ , $\vec{bˆ*}$ et $\vec{cˆ*}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque
$\vec{H_i}ˆT$ est la transposée du vecteur $\vec{H_i}$
$Gˆ*∼$ est le tenseur métrique du réseau réciproque

Indexation des pics de diffraction

Note: Par «pic», nous désignons non seulement les pics des diffractogrammes dans le cas des enregistrements numériques, mais également les taches de diffraction dans le cas de la diffraction sur un monocristal (cliché de Laue, microscopie électronique en transmission), mais aussi les anneaux de diffraction dans le cas de la diffraction sur une poudre (chambre de Debye-Scherrer).; Voir l'article Théorie de la diffraction sur un cristal.

Dans les expériences de diffraction avec une longueur d'onde de l'ordre des paramètres de maille (diffraction de rayons X, diffraction de neutrons, diffraction d'électrons en microscopie électronique en transmission), la position des pics de diffraction peut se calculer suivant les distances interréticulaires, par la loi de Bragg.

On peut ainsi relier chaque pic à un plan $(hkl)$ ; les indices de miller du plan sont les indices du pic.

Espace réciproque et diffraction

Considérons l'espace réciproque, c'est-à-dire l'espace vectoriel constitué par les vecteurs d'onde ; l'utilisation de cet espace sert à déterminer aisément les conditions de diffraction (voir aussi l'article Théorie de la diffraction sur un cristal).

On y définit la base réciproque $(\vec{e}ˆ*_1, \vec{e}ˆ*_2, \vec{e}ˆ*_3)$ par^[2] :

$\vec{eˆ*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3$

$\vec{eˆ*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1$

$\vec{eˆ*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2$

où V est le volume de la maille $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ qui peut s'écrire :

$V = \vec{e_1} \cdot (\vec{e_2} \wedge \vec{e_3}) = \vec{e_3} \cdot (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) = \vec{e_2} \cdot (\vec{e_3} \wedge \vec{e_1})$

D'après les propriétés du produit vectoriel, on a :

$\vec{e_1ˆ*} \cdot \vec{e_2} = \vec{e_1ˆ*} \cdot \vec{e_3} = 0$ , soit $\vec{e_1ˆ*} \bot \vec{e_2}$ et $\vec{e_1ˆ*} \bot \vec{e_3}$

$\vec{e_2ˆ*} \cdot \vec{e_3} = \vec{e_2ˆ*} \cdot \vec{e_1} = 0$ , soit $\vec{e_2ˆ*} \bot \vec{e_3}$ et $\vec{e_2ˆ*} \bot \vec{e_1}$

$\vec{e_3ˆ*} \cdot \vec{e_1} = \vec{e_3ˆ*} \cdot \vec{e_2} = 0$ , soit $\vec{e_3ˆ*} \bot \vec{e_1}$ et $\vec{e_3ˆ*} \bot \vec{e_2}$

D'autre part, si (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3), on a :

$\vec{e_m} \cdot \vec{e_mˆ*} = \frac{1}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 1$ ^[3]

Notons $\vec{K}$ le vecteur ayant les coordonnées (h, k, l) dans cette base réciproque :

$\vec{K} = h \cdot \vec{eˆ*_1} + k \cdot \vec{eˆ*_2} + l \cdot \vec{eˆ*_3}$

alors ce vecteur est normal au plan (hkl) : si ni h, ni k, ni l ne sont nuls, alors

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = (h \cdot \vec{eˆ*_1} + k \cdot \vec{eˆ*_2} + l \cdot \vec{eˆ*_3}) \cdot \left ( -\frac{1}{h} \cdot \vec{e_1} + \frac{1}{k} \cdot \vec{e_2} \right )$

soit

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -\vec{eˆ*_1} \cdot \vec{e_1} + \frac{h}{k} \cdot \vec{eˆ*_1} \cdot \vec{e_2} -\frac{k}{h} \cdot \vec{eˆ*_2} \cdot \vec{e_1} + \vec{eˆ*_2} \cdot \vec{e_2} - \frac{l}{h} \cdot \vec{eˆ*_3} \cdot \vec{e_1} + \frac{l}{k} \cdot \vec{eˆ*_3} \cdot \vec{e_2}$

donc

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -1 + 0 - 0 + 1 - 0 + 0 = 0$ ^[4]

donc $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_1 A_2}$ . On peut démontrer de même que $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_2 A_3}$ et que $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_3 A_1}$ . Le $\vec{K}$ est perpendiculaire à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est par conséquent normal au plan. Si h, k ou l est nul, on montre l'orthogonalité en se basant sur le fait qu'un ou deux des axes est parallèle au plan.

Or, les vecteurs ayant des coordonnées entières dans la base réciproque correspondent aux conditions de diffraction. Ainsi :

dans le cas de la diffraction sur un monocristal (cliché de Laue, microscopie électronique en transmission), on peut associer une tache de diffraction à un plan cristallographique ;
dans le cas d'une poudre (chambre de Debye-Scherrer, diffractomètre Bragg-Brentano), on peut associer un anneau de Debye ou un pic de diffraction à un plan cristallographique.

On parle ainsi de tache, d'anneau ou de pic (hkl). Cette association se nomme «l'indexation».

Notes

Le cristaux cubiques sont cependant nommés isotrope à cause de l'isotropie de leurs propriété optiques
il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors $\vec{eˆ*_i} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_j} \wedge \vec{e_k}$ (i, j, k) étant une permutation circulaire de (1, 2, 3) ; ce facteur 2π produit juste une homothétie (dilatation) de l'espace réciproque, mais ne change rien aux résultats
si on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors $\vec{e_m} \cdot \vec{e_mˆ*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot (\vec{e_m}\cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 2 \pi$
si on choisit de prendre 2π/λ pour la norme du vecteur d'onde, alors $\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = -2 \pi +0 -0 + 2 \pi -0 + 0 = 0$

Voir aussi

Liens externes

Éléments de cristallographie (pages personnelles chez. com/deuns)
- Plans nodaux et indices de Miller
- Indices de Miller

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