Réseau réciproque

En cristallographie, le réseau réciproque d'un réseau de Bravais est la totalité des vecteurs tels que

Maille du réseau réciproque

Un cristal peut se décrire comme un réseau aux nœuds duquel se trouvent des motifs : atome, ion, molécule.

Si on nomme $(\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3})$ les vecteurs définissant la maille élémentaire, ces vecteurs définissent une base de l'espace. On peut définir une base réciproque par $(\vec{eˆ*_1}, \vec{eˆ*_2}, \vec{eˆ*_3})$ vérifiant^[1]

$\vec{e_i}\cdot\vec{eˆ*_j} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{si }i=j \\ 0 & \text{si }i\ne j \end{cases}$

ce qui donne

$\vec{eˆ*_1} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3$

$\vec{eˆ*_2} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1$

$\vec{eˆ*_3} = \frac{1}{V_m} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2$

où $V m$ est le volume de la maille du réseau direct :

$V_m = (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) = \vec{e_1}\cdot(\vec{e_2} \wedge \vec{e_3})$

Les points ayant des coordonnées entières dans le repère $(O, \vec{eˆ*_1}, \vec{eˆ*_2},\vec{eˆ*_3})$ forment un réseau nommé réseau réciproque.

Application

L'étude des cristaux se fait généralement par diffraction d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et par conséquent la structure du cristal.

Si on appelle

$\vec{k}$ le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
$\vec{k'}$ le vecteur des ondes diffusées dans une direction donnée ;
$\vec{K}$ le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par $\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}$ ,

alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le théorème de Bloch :

il y a diffraction si $\vec{K}$ est un vecteur du réseau réciproque.

Exemples de réseaux réciproques

Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la maille primitive. On utilise par contre fréquemment des réseaux non-primitifs, comme le cubique centré (2 nœuds par maille) et le cubique faces centrées (4 nœuds par maille).

Réseau (paramètre)	Réseau réciproque (paramètre)	Première zone de Brillouin
cubique $(a)$	cubique $(2π / a)$	cube
cubique centré $(a)$	cubique faces centrées $(4π / a)$	octaèdre obtus
cubique faces centrées $(a)$	cubique centré $(4π / a)$	dodécaèdre rhombique

Ici on a posé $\vec{aˆ*}\cdot\vec{a}=2\pi.$

Note

Il existe deux manières de définir le vecteur d'onde : soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors

$\vec{e_i}\cdot\vec{eˆ*_j} = 2\pi\delta_{ij}$

et

$\vec{e_mˆ*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}$

où (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3).

Voir aussi

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